Несобственные интегралы I рода. Несобственные интегралы. Примеры решений Вычислить несобственный интеграл 1 рода
Тема НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В
теме «Определенный интеграл» было
рассмотрено понятие определенного
интеграла
для случая конечного промежутка
и ограниченной функции
(см. теорему 1 из §3). Теперь займемся
обобщением этого понятия для случаев
бесконечного промежутка и неограниченной
функции. Необходимость такого обобщения
показывают, например, такие ситуации.
1.
Если, используя формулу для длины дуги,
попытаться вычислить длину четверти
окружности
,
,
то придем к интегралу от неограниченной
функции:
,
где
.
2.
Пусть тело массой
движется
по инерции в среде с силой сопротивления
,
где
- скорость тела. Используя второй закон
Ньютона (
,
где
ускорение),
получим уравнение:
,
где
.
Нетрудно показать, что решением этого
(дифференциального!) уравнения является
функция
Если
нам потребуется вычислить путь, пройденный
телом до полной остановки, т.е. до момента,
когда
,
то придем к интегралу по бесконечному
промежутку:
§1. Несобственные интегралы 1-го рода
I Определение
Пусть
функция
определена и непрерывна на промежутке
.
Тогда для любого
она интегрируема на промежутке
,
то есть существует интеграл
.
Определение
1
.
Конечный или бесконечный предел этого
интеграла при
называют несобственным интегралом 1-го
рода от функции
по промежутку
и обозначают символом
.
При этом, если указанный предел конечен,
то несобственный интеграл называют
сходящимся, в противном случае (
или не существует) – расходящимся.
Итак, по определению
Примеры
2.
.
3.
– не существует.
Несобственный интеграл из примера 1 сходится, в примерах 2 и 3 интегралы расходятся.
II Формула Ньютона – Лейбница для несобственного интеграла первого рода
Пусть
- некоторая первообразная для функции
(сущест-вует на
,
т.к.
- непрерывна). Тогда
Отсюда
ясно, что сходимость несобственного
интеграла (1) равносильна существованию
конечного предела
.
Если этот предел обозначить
,
то можно написать для интеграла (1)
формулу Ньютона-Лейбница:
,
где
.
Примеры .
5.
.
6.
Более сложный пример:
.
Сначала найдем первообразную:
Теперь
можем найти интеграл
,
учитывая,
что
:
III Свойства
Приведем ряд свойств несобственного интеграла (1), которые вытекают из общих свойств пределов и определенного интеграла:
IV Другие определения
Определение
2
.
Если
непрерывна
на
,
то
.
Определение
3
.
Если
непрерывна
на
,
то принимают по определению
(– произвольное),
причем несобственный интеграл в левой части сходится, если только оба ин-теграла в правой части сходятся.
Для этих интегралов, как и для интеграла (1) можно написать соответствующие формулы Ньютона – Лейбница.
Пример 7 .
§2. Признаки сходимости несобственного интеграла 1-го рода
Чаще всего несобственный интеграл вычислить по определению не-возможно, поэтому используют приближенное равенство
(для больших ).
Однако, это соотношение имеет смысл лишь для сходящихся интегралов. Необходимо иметь методы выяснения поведения интеграла минуя определение.
I Интегралы от положительных функций
Пусть
на
.
Тогда определенный интеграл
как функция верхнего предела есть
функция возрастаю-щая (это следует из
общих свойств определенного интеграла).
Теорема
1
.
Несобственный интеграл 1 го
рода от неотрицательной функ-ции сходится
тогда и только тогда, когда функция
остается
ограниченной при увеличении.
Эта теорема – следствие общих свойств монотонных функций. Практического смысла теорема почти не имеет, но позволяет получить т.н. признаки сходимости.
Теорема
2
(1-й признак сравнения). Пусть функции
и
непре-рывны на
и удовлетворяют неравенству
.
Тогда:
1)
если интеграл
сходится, то и
сходится;
2)
если интеграл
расходится, то и
расходится.
Доказательство
.
Обозначим:
и
.
Так как
,
то
.
Пусть интеграл
сходится, тогда (в силу теоремы 1) функция
‒ ограничена. Но тогда и
ограничена,
а значит, интеграл
тоже сходится. Аналогично доказывается
и вторая часть теоремы.
Этот
признак не применим в случае расходимости
интеграла от
или сходимости интеграла от
.
Этот недостаток отсутствует у 2-го
признака сравнения.
Теорема
3
(2-й признак сравнения). Пусть функции
и
непрерывны и неотрицательны на
.
Тогда, если
при
,
то несобственные интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство . Из условия теоремы получим такую цепочку равно-сильных утверждений:
,
,
.
Пусть,
например,
.
Тогда:
Применим теорему 2 и свойство 1) из §1 и получим утверждение теоремы 3.
В
качестве эталонной функции, с которой
сравнивают данную, высту-пает степенная
функция
,
.
Предлагаем студентам самим доказать,
что интеграл
сходится
при
и расходится при
.
Примеры
.
1.
.
Рассмотрим
подынтегральную функцию на промежутке
:
,
.
Интеграл
сходится, ибо
.
По 2-му признаку сравнения сходится и
интеграл
,
а в силу свойства 2) из §1 сходится и
исход-ный интеграл.
2.
.
Так
как
,
тоcуществует
такое, что при
.
Для таких значений переменной:
Известно, что логарифмическая функция растет медленнее степенной, т.е.
,
а значит, начиная с некоторого значения переменной, эта дробь меньше 1. Поэтому
.
Интеграл
сходится как эталонный. В силу 1-го
признака сравнения сходится и
.
Применяя 2-й признак, получим, что и
интеграл
сходится. И снова свойство 2) из §1
доказывает сходимость исходного
интеграла.
Несобственные интегралы первого рода. По сути это тот же определённый интеграл, но в случаях, когда интегралы имеют бесконечный верхний или нижний пределы интегрирования, или оба предела интегрирования бесконечны.
Несобственные интегралы второго рода. По сути это тот же определённый интеграл, но в случаях, когда интеграл берётся от неограниченных функций, подынтегральная функция в конечном числе точек конечного отрезка интегрирования не имеет, обращаясь в бесконечность.
Для сравнения. При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ], а отрезок интегрирования является конечным, то есть ограничен числами, а не бесконечностью. Некоторые задачи приводят к необходимости отказаться от этих ограничений. Так появляются несобственные интегралы.
Геометрический смысл несобственного интеграла выясняется довольно просто. В случае, когда график функции y = f (x ) находится выше оси Ox , определённый интеграл выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x ) , осью абсцисс и ординатами x = a , x = b . В свою очередь несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) криволинейной трапеции, заключённой между линиями y = f (x ) (на рисунке ниже - красного цвета), x = a и осью абсцисс.
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:
Площадь бесконечной криволинейной трапеции может быть конечным числом и в этом случае несобственный интеграл называется сходящимся. Площадь может быть и бесконечностью и в этом случае несобственный интеграл называется расходящимся.
Использование предела интеграла вместо самого несобственного интеграла. Для того, чтобы вычислить несобственный интеграл, нужно использовать предел определённого интеграла. Если этот предел существует и конечен (не равен бесконечности), то несобственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае - расходящимся. К чему стремится переменная под знаком предела, зависит от того, имеем мы дело с несобственным интегралом первого рода или второго рода. Узнаем об этом сейчас же.
Несобственные интегралы первого рода - с бесконечными пределами и их сходимость
Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом
Итак, запись несобственного интеграла как отличается от обычного определённого интеграла тем, что верхний предел интегрирования бесконечен.
Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f (x ) на промежутке от a до ∞ называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования b и нижним пределом интегрирования a при условии, что верхний предел интегрирования неограниченно растёт , т.е.
.
Если этот предел существует и равен некоторому числу, а не бесконечности, то несобственный интеграл называется сходящимся , а число, которому равен предел, принимается за его значение. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакого значения.
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).
Решение. На основании определения несобственного интеграла находим
Так как предел существует и равен 1, то и данный несобственный интеграл сходится и равен 1.
В следующем примере подынтегральная функция почти как в примере 1, только степень икса - не двойка, а буква альфа, а задача состоит в исследовании несобственного интеграла на сходимость. То есть предстоит ответить на вопрос: при каких значениях альфы данный несобственный интеграл сходится, а при каких расходится?
Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (нижний предел интегрирования больше нуля).
Решение. Предположим сначала, что , тогда
В полученном выражении перейдём к пределу при :
Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда , то есть , и не существует, когда , то есть .
В первом случае, то есть при имеет место . Если , то и не существует.
Вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходится при .
Применяя к изучаемому виду несобственного интеграла формулу Ньютона-Лейбница , можно вывести следующую очень похожую на неё формулу:
.
Это обобщённая формула Ньютона-Лейбница.
Пример 3. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).
Предел этого интеграла существует:
Второй интеграл, составляющий сумму, выражающую исходный интеграл:
Предел этого интеграла также существует:
.
Находим сумму двух интегралов, являющуюся и значением исходного несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами:
Несобственные интегралы второго рода - от неограниченных функций и их сходимость
Пусть функция f (x ) задана на отрезке от a до b и неограниченна на нём. Предположим, что функция обращается в бесконечность в точке b , в то время как во всех остальных точках отрезка она непрерывна.
Определение. Несобственным интегралом функции f (x ) на отрезке от a до b называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования c , если при стремлении c к b функция неограниченно возрастает, а в точке x = b функция не определена , т.е.
.
Если этот предел существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.
Используя формулу Ньютона-Лейбница, выводим.
Определенный интеграл
\[ I=\int_a^bf(x)dx \]
был построен в предположении, что числа $a,\,b$ конечны и $f(x)$ - непрерывная функция. Если одно из этих предположений нарушается, говорят о несобственных интегралах.
10.1 Несобственные интегралы 1 рода
Несобственный интеграл 1 рода возникает, когда по крайней мере одно из чисел $a,\,b$ бесконечно.
10.1.1 Определение и основные свойства
Рассмотрим сначала ситуацию, когда нижний предел интегрирования конечен, а верхний равен $+\infty$, другие варианты обсудим несколько позднее. Для $f(x)$, непрерывной при всех интересующих нас $x$, рассмотрим интеграл
\begin{equation} I=\int _a^{+\infty}f(x)dx. \quad(19) \label{inf1} \end{equation}
Прежде всего надо установить смысл этого выражения. Для этого введем функцию
\[ I(N)=\int _a^{N}f(x)dx \]
и рассмотрим ее поведение при $N\rightarrow +\infty$.
Определение. Пусть существует конечный предел
\[ A=\lim_{N \rightarrow +\infty}I(N)=\lim_{N \rightarrow +\infty}\int _a^{N}f(x)dx. \]
Тогда говорят, что несобственный интеграл 1 рода (19) является сходящимся и ему приписывают значение $A$, саму функцию называют интегрируемой на интервале $\left[ a, \, +\infty \right)$. Если же указанного предела не существует или он равен $\pm \infty$, то говорят, что интеграл (19) расходится.
Рассмотрим интеграл
\[ I=\int _0^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2}. \]
\[ I(N)=\int _0^{N} \frac{dx}{1+x^2}. \]
В данном случае известна первообразная подинтегральной функции, так что
\[ I(N)=\int _0^{N} \frac{dx}{1+x^2}=arctgx|_0^{N}=arctgN. \]
Известно, что $arctg N \rightarrow \pi /2 $ при $N \rightarrow +\infty$. Таким образом, $I(N)$ имеет конечный предел, наш несобственный интеграл сходится и равен $\pi /2$.
Сходящиеся несобственные интегралы 1 рода обладают всеми стандартными свойствами обычных определенных интегралов.
1. Если $f(x)$, $g(x)$ интегрируемы на интервале $\left[ a, \, +\infty \right)$, то их сумма $f(x)+g(x)$ также интегрируема на этом интервале, причем \[ \int _a^{+\infty}\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^{+\infty}f(x)dx+\int _a^{+\infty}g(x)dx. \] 2. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right)$, то для любой константы $C$ функция $C\cdot f(x)$ также интегрируема на этом интервале, причем \[ \int _a^{+\infty}C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^{+\infty}f(x)dx. \] 3. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right)$, причем на этом интервале $f(x)>0$, то \[ \int _a^{+\infty} f(x)dx\,>\,0. \] 4. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right)$, то для любого $b>a$ интеграл \[ \int _b^{+\infty} f(x)dx \] сходится, причем \[ \int _a^{+\infty}f(x)dx=\int _a^{b} f(x)dx+\int _b^{+\infty} f(x)dx \] (аддитивность интеграла по интервалу).
Справедливы также формулы замены переменной, интегрирования по частям и т.д. (с естественными оговорками).
Рассмотрим интеграл
\begin{equation} I=\int _1^{+\infty}\frac{1}{x^k}\,dx. \quad (20) \label{mod} \end{equation}
Введем функцию
\[ I(N)=\int _1^{N}\frac{1}{x^k}\,dx. \]
В данном случае первообразная известна, так что
\[ I(N)=\int _1^{N}\frac{1}{x^k}\,dx\,=\frac{x^{1-k}}{1-k}|_1^N= \frac{N^{1-k}}{1-k}-\frac{1}{1-k} \]
при $k \neq 1$,
\[ I(N)=\int _1^{N}\frac{1}{x}\,dx\,=lnx|_1^N= lnN \]
при $k = 1$. Рассматривая поведение при $N \rightarrow +\infty$, приходим к выводу, что интеграл (20) сходится при $k>1$, а при $k \leq 1$ - расходится.
Рассмотрим теперь вариант, когда нижний предел интегрирования равен $-\infty$, а верхний конечен, т.е. рассмотрим интегралы
\[ I=\int _{-\infty}^af(x)dx. \]
Однако этот вариант можно свести к предыдущему, если сделать замену переменных $x=-s$ и поменять затем пределы интегрирования местами, так что
\[ I=\int _{-a}^{+\infty}g(s)ds, \]
$g(s)=f(-s)$. Рассмотрим теперь случай, когда имеется два бесконечных предела, т.е. интеграл
\begin{equation} I=\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)dx, \quad (21) \label{intr} \end{equation}
причем $f(x)$ непрерывна при всех $x \in \mathbb{R}$. Разобъем интервал на две части: возьмем $c \in \mathbb{R}$, и рассмотрим два интеграла,
\[ I_1=\int _{-\infty}^{c}f(x)dx, \quad I_2=\int _{c}^{+\infty}f(x)dx. \]
Определение. Если оба интеграла $I_1$, $I_2$ сходятся, то интеграл (21) называется сходящимся, ему приписывают значение $I=I_1+I_2$ (в соответствии с аддитивностью по интервалу). Если хотя бы один из интегралов $I_1$, $I_2$ расходится, интеграл (21) называется расходящимся.
Можно доказать, что сходимость интеграла (21) не зависит от выбора точки $c$.
Несобственные интегралы 1 рода с интервалами интегирования $\left(-\infty, \, c \right]$ или $(-\infty, \, +\infty)$ также обладают всеми стандартными свойствами определенных интегралов (с соответствующей переформулировкой, учитывающей выбор интервал интегрирования).
10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода
Теорема (первый признак сравнения). Пусть $f(x)$, $g(x)$ - непрерывны при $x>a$, причем $0 a$. Тогда
1. Если интеграл \[ \int _a^{+\infty}g(x)dx \] сходится, то сходится и интеграл \[ \int _a^{+\infty}f(x)dx. \] 2. Если интеграл \[ \int _a^{+\infty}f(x)dx \] расходится, то расходится и интеграл \[ \int _a^{+\infty}g(x)dx. \]
Теорема (второй признак сравнения). Пусть $f(x)$, $g(x)$ - непрерывны и положительны при $x>a$, причем существует конечный предел
\[ \theta = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}, \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]
Тогда интегралы
\[ \int _a^{+\infty}f(x)dx, \quad \int _a^{+\infty}g(x)dx \]
сходятся или расходятся одновременно.
Рассмотрим интеграл
\[ I=\int _1^{+\infty}\frac{1}{x+\sin x}\,dx. \]
Подинтегральное выражение - положительная функция на интервале интегрирования. Далее, при $x \rightarrow +\infty$ имеем:
$\sin x$ является "малой" поправкой в знаменателе. Точнее, если взять $f(x)=1/(x+\sin x)$, \, $g(x)=1/x$, то
\[ \lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{x}{x+\sin x}=1. \]
Применяя второй признак сравнения, приходим к выводу, что наш интеграл сходится или расходится одновременно с интегралом
\[ \int _1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx . \]
Как было показано в предыдущем примере, этот интеграл расходится ($k=1$). Следовательно, исходный интеграл расходится.
Вычислить несобственный интеграл или установить его сходимость (расходимость).
1. \[ \int _{0}^{+\infty}e^{-ax}\,dx. \] 2. \[ \int _{0}^{+\infty}xe^{-x^2}\,dx. \] 3. \[ \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{2xdx}{x^2+1}. \] 4. \[ \int _{0}^{+\infty}\frac{xdx}{(x+2)^3}. \] 5. \[ \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+2x+2}. \] 6. \[ \int _{1}^{+\infty}\frac{lnx}{x^2}\,dx. \] 7. \[ \int _{1}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}. \] 8. \[ \int _{0}^{+\infty}e^{-\sqrt{x}}\,dx. \] 9. \[ \int _{0}^{+\infty}e^{-ax}\cos x\,dx. \] 10. \[ \int _{0}^{+\infty}\frac{xdx}{x^3+1}. \]
Лекция 24. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
План:
- Понятие несобственного интеграла
- Несобственные интегралы I рода.
- Несобственные интегралы II рода.
- Понятие несобственного интеграла
Рассмотрим нахождение обоих видов несобственных интегралов.
Пусть задана функция y=f(x) , непрерывная на промежутке [a;+∞ ). Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают .
сходится расходится .
Геометрический смысл несобственного интеграла I рода заключается в следующем: если сходится (при условии, что f(x) ≥0), то он представляет собой площадь "бесконечно длинной" криволинейной трапеции (рис. 24.1).
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом интегрирования для непрерывной на промежутке (-∞ ;b ] функции: = .
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется формулой: = + , где с – произвольное число.
Рассмотрим примеры нахождения несобственных интегралов I рода.
Пример 24.1.
Решение . Для нахождения несобственного интеграла с бесконечной верхней границей от непрерывной функции воспользуемся формулой: = . Тогда = . Сначала вычислим интеграл от е х :
= = = =∞. Получили, что несобственный интеграл расходится.
Ответ : расходится.
Пример 24.2. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость: .
Решение . Подынтегральная функция непрерывна на промежутке (-∞ ;- 1]. Для нахождения несобственного интеграла I рода с бесконечной нижней границей воспользуемся формулой: = . Тогда = . Вычислим интеграл, содержащийся под знаком предела: = . Избавимся от знака "минус", поменяв границы интегрирования местами:
1. Получили, что рассматриваемый несобственный интеграл сходится.
Ответ : =1.
- Несобственные интегралы II рода.
Пусть задана функция y=f(x) , непрерывная на промежутке [a;b ). Пусть b – точка разрыва второго рода. Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают .
Таким образом, по определению = .
Если найденный предел равен конечному числу, то говорят, что несобственный интеграл сходится . Если указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится .
Геометрический смысл несобственного интегралаII рода , где b – точка разрыва второго рода, f(x) ≥0, заключается в следующем: если сходится, то он представляет собой площадь "бесконечно высокой" криволинейной трапеции (рис. 24.2).
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла II рода для непрерывной на промежутке (a;b ]функции при условии, что а – точка разрыва второго рода: = .
Пример 24.3. Вычислите несобственный интеграл II рода: .
Решение . Подынтегральная функция непрерывна на промежутке (0;1], причем х= 0 - точка разрыва второго рода (). Для вычисления несобственного интеграла воспользуемся формулой: = . Получим, что
= = = = = = ∞. Видим, что несобственный интеграл II рода расходится.
Ответ : расходится.
Контрольные вопросы:
- Что называют несобственным интегралом?
- Какие интегралы называются несобственными интегралами первого рода?
- В чем заключается геометрический смысл несобственного интеграла первого рода?
- Какие несобственные интегралы называют сходящимися, а какие расходящимися?
- Какие интегралы называются несобственными интегралами второго рода?
- В чем заключается геометрический смысл несобственного интеграла второго рода?
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Абдрахманова И.В. Элементы высшей математики: учеб. пособие – М.: Центр интенсивных технологий образования, 2003. – 186 с.
2. Алгебра и начала анализа (Ч.1, Ч.2): Учебник для ССУЗов / под ред. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1981.
3. Александрова Н.В. Математические термины. Справочник.- М.: Высш. школа, 1978. - 190 с.
4. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1989. – 576 с.
5. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО. - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с.
6. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: учеб. пособие для техникумов. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с.
7. Луканкин Г.Л., Мартынов Н.Н., Шадрин Г.А., Яковлев Г.Н. Высшая математика: учеб. пособие для студентов пед. институтов. – М.: Просвещение, 1988. – 431 с.
8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Ч.1. – М.:Айрис-пресс, 2006.- 288 с.
9. Филимонова Е.В. Математика: учеб. пособие для ссузов. – Ростов н/Д: Феникс, 2003. – 384 с.
10. Шипачев В.С. Высшая математика: учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.
11. Шипачев В.С. Курс высшей математики: высшее образование. – М.: ПРОЮЛ М.А.Захаров, 2002. – 600 с.
12. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. ред. М.В.Аксенова. - М.: Аванта+, 2000.- 688 с.